фрактали | Журнал Популярна Механіка

1. Геометрія і алгебра
2. фрактальні розмірності
3. Наука і мистецтво
4. Війна і мир
5. Конструктивні (геометричні) фрактали
6. Мовою математики: динамічні (алгебраїчні) фрактали
7. Комплексні числа
8. сімейство драконів
9. Фрактали і життя

Фрактали відомі вже майже століття, добре вивчені і мають численні застосування в житті. Однак в основі цього явища лежить дуже проста ідея: нескінченне по красі і різноманітності безліч фігур можна отримати з відносно простих конструкцій за допомогою всього двох операцій - копіювання і масштабування.

Що спільного у дерева, берега моря, хмари або кровоносних судин у нас в руці? На перший погляд може здатися, що всі ці об'єкти ніщо не об'єднує. Однак насправді існує одна властивість структури, властиве всім перерахованим предметів: вони самоподобни. Від гілки, як і від стовбура дерева, відходять відростки поменше, від них - ще менші, і т. Д., Тобто гілка подібна всьому дереву. Подібним же чином влаштована і кровоносна система: від артерій відходять артеріоли, а від них - дрібні капіляри, по яких кисень надходить в органи і тканини. Подивимося на космічні знімки морського узбережжя: ми побачимо затоки і півострова; поглянемо на нього ж, але з висоти пташиного польоту: нам буде видно бухти і миси; тепер уявімо собі, що ми стоїмо на пляжі і дивимося собі під ноги: завжди знайдуться камінчики, які далі видаються в воду, ніж інші. Тобто берегова лінія при збільшенні масштабу залишається схожою на саму себе. Це властивість об'єктів американський (правда, виріс у Франції) математик Бенуа Мандельброт назвав фрактальної, а самі такі об'єкти - фракталами (від латинського fractus - зламаний).

Що таке фрактал? У цього поняття немає строгого визначення. Тому слово «фрактал» не є математичним терміном. Зазвичай фракталом називають геометричну фігуру, яка задовольняє одній або декільком з наступних властивостей: • Володіє складною структурою при будь-якому збільшенні масштабу (на відміну від, наприклад, прямий, будь-яка частина якої є найпростішою геометричною фігурою - відрізком). • Чи є (приблизно) самоподобной. • Володіє дробової Гаусдорфів (фрактальної) розмірністю, яка більше топологічної. • Може бути побудована рекурсивними процедурами.

Геометрія і алгебра

Вивчення фракталів на рубежі XIX і XX століть носило скоріше епізодичний, ніж систематичний характер, тому що раніше математики в основному вивчали «хороші» об'єкти, які піддавалися дослідженню за допомогою загальних методів і теорій. У 1872 році німецький математик Карл Вейерштрасс будує приклад неперервної функції, яка ніде не диференційована. Однак його побудова було цілком абстрактно і важко для сприйняття. Тому в 1904 році швед Хельге фон Кох придумав безперервну криву, яка ніде не має дотичній, причому її досить просто намалювати. Виявилося, що вона має властивості фрактала. Один з варіантів цієї кривої носить назву «сніжинка Коха».

Ідеї ​​самоподібності фігур підхопив француз Поль П'єр Леві, майбутній наставник Бенуа Мандельброта. У 1938 році вийшла його стаття «Плоскі та просторові криві і поверхні, що складаються з двох частин, подібних цілому», в якій описаний ще один фрактал - С-крива Леві. Всі ці перераховані вище фрактали можна умовно віднести до одного класу конструктивних (геометричних) фракталів.

Інший клас - динамічні (алгебраїчні) фрактали, до яких відноситься і безліч Мандельброта. Перші дослідження в цьому напрямку почалися на початку XX століття і пов'язані з іменами французьких математиків Гастона Жуліа і П'єра Фату. У 1918 році вийшов майже двухсотстранічний мемуари Жуліа, присвячений итерациям комплексних раціональних функцій, в якому описані безлічі Жуліа - ціле сімейство фракталів, близько пов'язаних з безліччю Мандельброта. Ця праця був удостоєний призу Французької академії, однак в ньому не містилося жодної ілюстрації, так що оцінити красу відкритих об'єктів було неможливо. Незважаючи на те що це робота прославила Жуліа серед математиків того часу, про неї досить швидко забули. Знову увагу до неї звернулося лише через півстоліття з появою комп'ютерів: саме вони зробили видимими багатство і красу світу фракталів.

фрактальні розмірності

Як відомо, розмірність (число вимірів) геометричної фігури - це число координат, необхідних для визначення положення лежачої на цій фігурі точки.
Наприклад, положення точки на кривій визначається однією координатою, на поверхні (не обов'язково площині) двома координатами, в тривимірному просторі трьома координатами.
З більш загальної математичної точки зору, можна визначити розмірність таким чином: збільшення лінійних розмірів, скажімо, в два рази, для одновимірних (з топологічної точки зору) об'єктів (відрізок) призводить до збільшення розміру (довжини) в два рази, для двовимірних (квадрат ) таке ж збільшення лінійних розмірів призводить до збільшення розміру (площі) в 4 рази, для тривимірних (куб) - в 8 раз. Тобто «реальну» (т.зв. гаусдорфів) розмірність можна підрахувати у вигляді відносини логарифма збільшення «розміру» об'єкта до логарифму збільшення його лінійного розміру. Тобто для відрізка D = log (2) / log (2) = 1, для площини D = log (4) / log (2) = 2, для обсягу D = log (8) / log (2) = 3.
Підрахуємо тепер розмірність кривої Коха, для побудови якої одиничний інтервал ділять на три рівні частини і замінюють середній інтервал рівностороннім трикутником без цього сегмента. При збільшенні лінійних розмірів мінімального відрізка в три рази довжина кривої Коха зростає в log (4) / log (3) ~ 1,26. Тобто розмірність кривої Коха - дрібна!

Наука і мистецтво

У 1982 році вийшла книга Мандельброта «Фрактальна геометрія природи», в якій автор зібрав і систематизував практично всю наявну на той момент інформацію про фрактали і в легкій і доступній манері виклав її. Основний упор в своєму викладі Мандельброт зробив не на великовагові формули і математичні конструкції, а на геометричну інтуїцію читачів. Завдяки ілюстраціям, отриманим за допомогою комп'ютера, і історичним байкам, якими автор вміло розбавив наукову складову монографії, книга стала бестселером, а фрактали стали відомі широкому загалу. Їх успіх серед нематематика багато в чому обумовлений тим, що за допомогою вельми простих конструкцій і формул, які здатний зрозуміти і старшокласник, виходять дивовижні за складністю і красу зображення. Коли персональні комп'ютери стали досить потужними, з'явилося навіть цілий напрям в мистецтві - фрактальна живопис, причому займатися нею міг практично будь-який власник комп'ютера. Зараз в інтернеті можна легко знайти безліч сайтів, присвячених цій темі.

Схема отримання кривої Коха

Війна і мир

Як вже зазначалося вище, один з природних об'єктів, що мають фрактальні властивості, - це берегова лінія. З ним, а точніше, зі спробою виміряти його довжину, пов'язана одна цікава історія, яка лягла в основу наукової статті Мандельброта, а також описана в його книзі «Фрактальна геометрія природи». Йдеться про експеримент, який поставив Льюїс Річардсон - вельми талановитий і ексцентричний математик, фізик і метеоролог. Одним з напрямків його досліджень була спроба знайти математичний опис причин і ймовірності виникнення збройного конфлікту між двома країнами. У числі параметрів, які він враховував, була протяжність спільного кордону двох ворогуючих країн. Коли він збирав дані для численних експериментів, то виявив, що в різних джерелах дані про спільному кордоні Іспанії та Португалії сильно відрізняються. Це наштовхнуло його на наступне відкриття: довжина кордонів країни залежить від лінійки, якою ми їх вимірюємо. Чим менше масштаб, тим довше виходить межа. Це відбувається через те, що при більшому збільшенні стає можливим враховувати всі нові і нові вигини берега, які раніше ігнорувалися через грубості вимірювань. І якщо при кожному збільшенні масштабу будуть відкриватися раніше не враховані вигини ліній, то вийде, що довжина кордонів нескінченна! Правда, насправді цього не відбувається - у точності наших вимірювань є кінцевий межа. Цей парадокс називається ефектом Річардсона.

Конструктивні (геометричні) фрактали

Алгоритм побудови конструктивного фрактала в загальному випадку такий. Перш за все нам потрібні дві відповідні геометричні фігури, назвемо їх основою і фрагментом. На першому етапі зображується основа майбутнього фрактала. Потім деякі її частини замінюються фрагментом, узятим в потрібному масштабі, - це перша ітерація побудови. Потім у отриманої фігури знову деякі частини змінюються на фігури, подібні фрагменту, і т. Д. Якщо продовжити цей процес до нескінченності, то в межі вийде фрактал.

Розглянемо цей процес на прикладі кривої Коха (див. Врізку на попередній сторінці). За основу кривої Коха можна взяти будь-яку криву (для «сніжинки Коха» це трикутник). Але ми обмежимося найпростішим випадком - відрізком. Фрагмент - ламана, зображена зверху на малюнку. Після першої ітерації алгоритму в даному випадку вихідний відрізок співпаде з фрагментом, потім кожен з складових його відрізків сам заміниться на ламану, подібну фрагменту, і т. Д. На малюнку показані перші чотири кроки цього процесу.

Мовою математики: динамічні (алгебраїчні) фрактали

Фрактали цього типу виникають при дослідженні нелінійних динамічних систем (звідси і назва). Поведінка такої системи можна описати комплексної нелінійної функцією (многочленом) f (z). Візьмемо якусь початкову точку z0 на комплексній площині (див. Врізку). Тепер розглянемо таку нескінченну послідовність чисел на комплексній площині, кожне наступне з яких виходить з попереднього: z0, z1 = f (z0), z2 = f (z1), ... zn + 1 = f (zn). Залежно від початкової точки z0 така послідовність може вести себе по-різному: прагнути до нескінченності при n -> ∞; сходитися до якоїсь кінцевої точки; циклічно приймати ряд фіксованих значень; можливі і складніші варіанти.

Комплексні числа

Комплексне число - це число, що складається з двох частин - дійсної та уявної, тобто формальна сума x + iy (x і y тут - речові числа). i - це т.зв. уявна одиниця, тобто тобто число, яке задовольняє рівняння i ^ 2 = -1. Над комплексними числами визначені основні математичні операції - додавання, множення, ділення, віднімання (не визначена тільки операція порівняння). Для відображення комплексних чисел часто використовується геометричне уявлення - на площині (її називають комплексної) по осі абсцис відкладають дійсну частину, а по осі ординат - уявну, при цьому комплексному числу відповідатиме точка з декартовими координатами x і y.

Таким чином, будь-яка точка z комплексної площині має свій характер поведінки при ітераціях функції f (z), а вся площину ділиться на частини. При цьому точки, що лежать на кордонах цих частин, мають таку властивість: при як завгодно малому зміщенні характер їх поведінки різко змінюється (такі точки називають точками біфуркації). Так ось, виявляється, що безлічі точок, що мають один конкретний тип поведінки, а також безлічі біфуркаційних точок часто мають фрактальні властивості. Це і є безлічі Жуліа для функції f (z).

сімейство драконів

Варіюючи основу і фрагмент, можна отримати приголомшливе різноманітність конструктивних фракталів.
Більш того, подібні операції можна проводити і в тривимірному просторі. Прикладами об'ємних фракталів можуть служити «губка Менгера», «піраміда Серпінського» та інші.
До конструктивних фракталам відносять і сімейство драконів. Іноді їх називають по імені першовідкривачів «драконами Хейвея-Хартера» (своєю формою вони нагадують китайських драконів). Існує кілька способів побудови цієї кривої. Найпростіший і наочний з них такий: потрібно взяти досить довгу смужку паперу (чим тонше папір, тим краще), і зігнути її навпіл. Потім знову зігнути її вдвічі в тому ж напрямку, що і в перший раз. Після кількох повторень (зазвичай через п'ять-шість складань смужка стає дуже товстою, щоб її можна було акуратно гнути далі) потрібно розігнути смужку назад, причому намагатися, щоб у місцях згинів утворилися кути в 90˚. Тоді в профіль вийде крива дракона. Зрозуміло, це буде лише наближення, як і всі наші спроби зобразити фрактальні об'єкти. Комп'ютер дозволяє зобразити набагато більше кроків цього процесу, і в результаті виходить дуже гарна фігура.

Безліч Мандельброта будується трохи інакше. Розглянемо функцію fc (z) = z2 + с, де c - комплексне число. Побудуємо послідовність цієї функції з z0 = 0, в залежності від параметра з вона може розходитися до нескінченності або залишатися обмеженою. При цьому всі значення з, при яких ця послідовність обмежена, як раз і утворюють безліч Мандельброта. Воно було детально вивчено самим Мандельброт і іншими математиками, які відкрили чимало цікавих властивостей цього безлічі.

Видно, що визначення множин Жуліа і Мандельброта схожі один на одного. Насправді ці два безлічі тісно пов'язані. А саме, безліч Мандельброта - це все значення комплексного параметра c, при яких безліч Жуліа fc (z) зв'язно (безліч називається зв'язковим, якщо його не можна розбити на дві непересічні частини, з деякими додатковими умовами).

Фрактали і життя

В наші дні теорія фракталів знаходить широке застосування в різних областях людської діяльності. Крім чисто наукового об'єкта для досліджень і тієї самої фрактальної живопису, фрактали використовуються в теорії інформації для стиснення графічних даних (тут в основному застосовується властивість самоподібності фракталів - адже щоб запам'ятати невеликий фрагмент малюнка і перетворення, за допомогою яких можна отримати інші частини, потрібно набагато менше пам'яті, ніж для зберігання всього файлу). Додаючи в формули, що задають фрактал, випадкові обурення, можна отримати стохастичні фрактали, які вельми правдоподібно передають деякі реальні об'єкти - елементи рельєфу, поверхню водойм, деякі рослини, що з успіхом застосовується у фізиці, географії та комп'ютерної графіки для досягнення більшої схожості модельованих предметів з справжніми. У радіоелектроніки в останнє десятиліття почали випускати антени, що мають фрактальну форму. Займаючи мало місця, вони забезпечують цілком якісний прийом сигналу. Економісти використовують фрактали для опису кривих коливання курсів валют (це властивість було відкрито Мандельброт більше 30 років тому). На цьому ми завершимо цю невелику екскурсію в дивовижний по красі і різноманітності світ фракталів.

Стаття «Краса повтору» опублікована в журналі «Популярна механіка» ( №3, Лютий 2009 ).