Існує чудова формула, яка дозволяє вважати площа багатокутника на координатної сітки майже без помилок. Це навіть не формула, а справжня теорема. На перший погляд, вона може здатися складною. Але досить вирішити пару завдань - і ви зрозумієте, наскільки це крута фішка. Так що вперед!
Для початку введемо нове визначення:
Вузол координатної стеки - це будь-яка точка, що лежить на перетині вертикальних і горизонтальних ліній цієї сітки.
На першій картинці вузли взагалі не позначені. На другий позначені 4 вузли. Нарешті, на третій картинці позначені всі 16 вузлів.
Яке відношення це має до задачі B5? Справа в тому, що вершини багатокутника в таких завданнях завжди лежать в вузлах сітки. Як наслідок, для них працює наступна теорема:
Теорема. Розглянемо багатокутник на координатної сітки, вершини якого лежать в вузлах цієї сітки. Тоді площа багатокутника дорівнює:
де - число вузлів всередині даного багатокутника, - число вузлів, які лежать на його кордоні (граничних вузлів).
Як приклад розглянемо звичайний трикутник на координатної сітки і спробуємо відзначити внутрішні і граничні вузли.
На першій картинці дано звичайний трикутник. На другий відзначені його внутрішні вузли, число яких дорівнює = 10. На третин зображенні відзначені вузли лежать на кордоні, їх всього = 6.
Можливо, багатьом читачам незрозуміло, як рахувати числа і. Почніть з внутрішніх вузлів. Тут все очевидно: зафарбовує трикутник олівцем і дивимося, скільки вузлів попало під зафарбовування.
З граничними вузлами трохи складніше. Кордон багатокутника - замкнута ламана, яка перетинає координатну сітку в багатьох точках. Найпростіше відзначити якусь «стартову» точку, а потім обійти інші.
Граничними вузлами будуть тільки ті точки на ламаній, в яких одночасно перетинаються три лінії:
- Власне, ламана;
- Горизонтальна лінія координатної сітки;
- Вертикальна лінія.
Подивимося, як все це працює в справжніх завданнях.
Завдання. Знайдіть площу трикутника, якщо розмір клітини дорівнює 1 x 1 см:
Для початку зазначимо вузли, які лежать всередині трикутника, а також на його кордоні:
Виходить, що внутрішній вузол всього один: = 1. Граничних вузлів - цілих шість: три збігаються з вершинами трикутника, а ще три лежать на сторонах. Разом = 6.
Тепер вважаємо площа за формулою:
От і все! Завдання вирішена.
Завдання. Знайдіть площу чотирикутника, зображеного на картатій папері з розміром клітини 1 см на 1 см. Відповідь дайте у квадратних сантиметрах.
Знову відзначаємо внутрішні і граничні вузли. Внутрішніх вузлів всього = 2. Граничних вузлів: = 7, з яких 4 є вершинами чотирикутника, а ще 3 лежать на сторонах.
Залишається підставити числа і в формулу площі:
Зверніть увагу на останній приклад. Це завдання реально пропонували на діагностичній роботі в 2012 році. Якщо працювати за стандартною схемою, доведеться робити багато додаткових побудов. А методом вузлів все вирішується практично усно.
Але формула - це ще не все. Давайте трохи перепишемо формулу, привівши складові в правій частині до спільного знаменника. отримаємо:
Числа і - це кількість вузлів, вони завжди цілі. Значить, весь чисельник теж цілий. Ми ділимо його на 2, з чого випливає важливий факт:
Площа завжди виражається цілим числом або дробом. Причому в кінці дробу завжди стоїть «п'ять десятих»: 10,5; 17,5 і т.д.
Таким чином, площа в завданні B5 завжди виражається цілим числом або дробом виду ***, 5. Якщо відповідь виходить іншим, значить, десь допущена помилка. Пам'ятайте про це, коли будете здавати справжній ЄДІ з математики!
Дивіться також:
- Завдання B5: метод вузлів
- Тест до уроку «Площі многокутників без координатної сітки» (середній)
- Як вирішувати квадратні рівняння
- Знаки тригонометричних функцій
- Пробний ЄДІ з математики 2015: 4 варіант
- Завдання на відсотки вважаємо відсотки за допомогою формули