5.7 Власні значення і власні вектори
нехай 
- матриця розмірністю 
. Будь ненульовий вектор 
, Що належить деякому векторному простору, для якого 
, Де λ - деяке число, називається власним вектором матриці, а λ - належним йому або відповідним йому власним значенням матриці A.
рівняння 
еквівалентно рівнянню 
. Це однорідна система лінійних рівнянь, нетривіальні рішення якої є шуканими власними векторами. Вона має нетривіальні рішення тільки тоді, коли 
, Тобто, якщо 
. многочлен 
називається характеристичним многочленом матриці A, а рівняння - характеристичним рівнянням матриці A. Якщо 
- власні значення , То нетривіальні рішення однорідної системи лінійних рівнянь є власні вектори A, належать своїм значенням . Безліч рішень цієї системи рівнянь називають власним подпространством матриці A, що належить своїм значенням , Кожен ненульовий вектор власного підпростору є власним вектором матриці A.
Іноді потрібно знайти власні вектори y і власні значення 
, Які визначаються співвідношенням 
, де 
- невироджена матриця. вектори 
і числа обов'язково є власними векторами і власними значеннями матриці 
. нехай 
і 
, Причому матриця є позитивно певної, тоді власні значення збігаються з корінням рівняння 
-го ступеня 
. Це рівняння називають характеристичним рівнянням для узагальненої задачі про власні значеннях. Для кожного кореня кратності 
існує рівно лінійно незалежних власних векторів .
Приклад 5.14. Знайти власні значення і власні вектори матриці .
В лістингу 5.15 показано рішення поставленого завдання.
disp ( 'Введіть матрицю:'); A = input ( 'A ='); [N, m] = size (A); disp ( 'Вектор власних значень матриці A:'); d = eig (A) [L, D] = eigA); disp ( 'L - Матриця власних векторів:'); L disp ( 'D - Діагональна матриця власних значень:'); D disp ( 'Перевірка:'); for i = 1: n (A - D (i, i) * eye (n)) * L (:, i) end; % _____________________________________ Введіть матрицю: A = [5 2 -1; 1 -3 2; 4 5 -3] Вектор власних значень матриці A: d = 4.9083e +00 -2.1495e-16 -5.9083e +00 L - Матриця власних векторів: L = -0.796113 -0.049326 0.181303 -0.241044 0.542590 -0.598803 -0.555069 0.838548 0.780106 D - Діагональна матриця власних значень: D = Diagonal Matrix 4.9083e +00 0 0 0 -2.1495e-16 0 0 0 -5.9083e +00 Перевірка: ans = -2.3657e-16 -4.3585e-16 7.4420e-16 ans = 2.7756e-17 -4.1633e-16 4.4409e-16 ans = 2.0632e-16 1.5772e-15 2.6606e-16 Лістинг 5.15. Знаходження власних значень (приклад 5.14).
Приклад 5.15. Привести задану матрицю до діагонального вигляду.
Завдання полягає в тому, щоб для квадратної матриці підібрати таку матрицю 
, Щоб матриця 
мала діагональний вид. Це завдання пов'язана з теорією власних значень, так як можна вирішити тільки в тому випадку, якщо матриця складається з власних векторів матриці .
В лістингу 5.16 наведено рішення поставленого завдання.
disp ( 'Введіть матрицю:'); A = input ( 'A ='); format bank; [C, D] = eig (A); disp ( 'Діагональна матриця до матриці А:'); D disp ( 'Перевірка B = D'); B = inv (C) * A * C% _____________________________________ Введіть матрицю: A = [2 1 3; 1 -2 1; 3 2 + 2] Діагональна матриця до матриці А: D = Diagonal Matrix 5.41 0 0 0 -1.00 0 0 0 -2.41 Перевірка B = D B = 5.41 -0.00 -0.00 0.00 -1.00 0.00 -0.00 -0.00 -2.41 Лістинг 5.16. Приведення до діагонального вигляду (приклад 5.15).
Приклад 5.16. Знайти рішення узагальненої задачі про власні значеннях для матриць і .
Узагальнену задачу про власні значення ( лістинг 5.17 ) Вирішують за допомогою функції 
, Яка в якості результату видає матрицю узагальнених власні векторів і діагональну матрицю, що містить узагальнені власні значення.
disp ( 'Введіть матрицю А:'); A = input ( 'A ='); disp ( 'Введіть матрицю В:'); B = input ( 'B ='); [X, V] = eig (A, B); disp ( 'Матриця узагальнених власних векторів:'); X disp ( 'Матриця узагальнених власних значень:'); V disp ( 'Узагальнені власні значення:'); v = diag (V)% _____________________________________ Введіть матрицю А: A = [1 -3; -3 4] Введіть матрицю В: B = [1 2, -3 1] Матриця узагальнених власних векторів: X = 1.00 0.92 0.00 1.00 Матриця, що містить узагальнені власні значення: V = Diagonal Matrix 1.00 0 0 -0.71 Узагальнені власні значення: v = 1.00 -0.71 Лістинг 5.17. Узагальнена задача про власні значення (пр. 5.16).
5.8 Норма і число обумовленості матриці
Матрична норма - це деяка скалярна числова характеристика, яку ставлять у відповідність матриці. У завданнях лінійної алгебри використовуються різні матричні норми:
Число обумовленості матриці A використовується для визначення міри чутливості системи лінійних рівнянь 
до погрішностей завдання вектора 
. Чим більше число обумовленості, тим більше нестійкий процес знаходження рішення системи. Існує кілька варіантів обчислення числа обумовленості, але всі вони пов'язані з нормою матриці, і рівні твору норми вихідної матриці на норму зворотною:
Приклад 5.17. Обчислити норми і числа обумовленості матриці A.
В лістингу 5.18 наведено фрагмент документа, в якому відбувається обчислення норм матриці A за допомогою функції 
і за відповідними формулами. Обчислення чисел обумовленості проведено за допомогою функції 
і по формулах, що відображають залежність числа обумовленості від відповідної норми матриці.
disp ( 'Введіть матрицю:'); A = input ( 'A ='); [N, m] = size (A); disp ( 'Перша норма:'); n_1 = norm (A, 1) N_1 = max (sum (abs (A))) disp ( 'Друга норма:'); n_2 = norm (A, 2) N_2 = sqrt (max (eig (A * A '))) disp (' Нескінченна норма: '); n_i = norm (A, inf) N_i = max (sum (abs (A '))) disp (' Евклидова норма: '); n_e = norm (A, 'fro') N_e = sqrt (sum (diag (A * A '))) disp (' Число обумовленості в першій нормі: '); c_1 = cond (A, 1) C_1 = norm (A, 1) * norm (inv (A), 1) disp ( 'Число обумовленості в другій нормі:'); c_2 = cond (A, 2) C_2 = norm (A, 2) * norm (inv (A), 2) disp ( 'Число обумовленості в нескінченній нормі:'); c_i = cond (A, inf) C_i = norm (A, inf) * norm (inv (A), inf) disp ( 'Число обумовленості в евклідової нормі:'); c_e = cond (A, 'fro') C_e = norm (A, 'fro') * norm (inv (A), 'fro')% _____________________________________ Введіть матрицю: A = [5 7 6 5; 7 10 8 7, 6 8 10 9; 5 7 9 10] Перша норма: n_1 = 33.00 N_1 = 33.00 Друга норма: n_2 = 30.29 N_2 = 30.29 Нескінченна норма: n_i = 33.00 N_i = 33.00 Евклидова норма: n_e = 30.55 N_e = 30.55 Число обумовленості в першій нормі: c_1 = 4488.00 C_1 = 4488.00 Число обумовленості в другій нормі: c_2 = 2984.09 C_2 = 2984.09 Число обумовленості в нескінченній нормі: c_i = 4488.00 C_i = 4488.00 Число обумовленості в евклідової нормі: c_e = 3009.58 C_e = 3009.58 Лістинг 5.18. Обчислення матричних норм (приклад 5.17).