інтеграл

1. Невизначений інтеграл [ правити | правити код ]
2. Визначений інтеграл [ правити | правити код ]
3. Інтеграл в просторах більшої розмірності [ правити | правити код ]
4. Криволінійний інтеграл [ правити | правити код ]
5. Інтеграл Лебега [ правити | правити код ]

Інтеграл - одне з найважливіших понять математичного аналізу , Яке виникає при вирішенні задач про знаходження площі під кривою, пройденого шляху при нерівномірному русі, маси неоднорідного тіла, і тому подібних, а також в завданні про відновлення функції по її похідною (Невизначений інтеграл) [1] . Спрощено інтеграл можна представити як аналог суми для нескінченного числа нескінченно малих доданків. Залежно від простору, на якому задана подинтегральная функція, інтеграл може бути - подвійний, потрійний, вигнутий , поверхневий і так далі; також існують різні підходи до визначення інтеграла - розрізняють інтеграли Рімана , Лебега , Стилтьеса та інші [2] .

Невизначений інтеграл [ правити | правити код ]

Нехай дана f (x) {\ displaystyle f (x)} - функція дійсної змінної . Невизначеним інтегралом функції f (x) {\ displaystyle f (x)} , Або її первообразной , Називається така функція F (x) {\ displaystyle F (x)} , похідна якої дорівнює f (x) {\ displaystyle f (x)} , Тобто F '(x) = f (x) {\ displaystyle F' (x) = f (x)} . Позначається це так:

F (x) = ∫ f (x) d x {\ displaystyle F (x) = \ int f (x) dx}

У цьому записі ∫ {\ displaystyle \ int} - знак інтеграла , F (x) {\ displaystyle f (x)} називається підінтегральної функцією, а d x {\ displaystyle dx} - елементом інтегрування.

Первісна існує не для будь-якої функції. Легко показати, що принаймні всі безперервні функції мають первісну. Оскільки похідні двох функцій, що відрізняються на константу , Збігаються, в вираз для невизначеного інтеграла включають довільну постійну C {\ displaystyle C} , наприклад

∫ x 2 dx = x 3 3 + C, ∫ cos ⁡ (x) dx = sin ⁡ (x) + C {\ displaystyle \ int x ^ {2} dx = {\ frac {x ^ {3}} {3 }} + C, \ qquad \ int \ cos (x) dx = \ sin (x) + C}

Операція знаходження інтеграла називається інтегруванням. Операції інтегрування і диференціювання назад один одному в наступному сенсі:

ddx ∫ f (x) dx = f (x), ∫ df (x) dxdx = f (x) + C {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ int f (x) dx = f (x ), \ qquad \ int {\ frac {df (x)} {dx}} dx = f (x) + C}

Визначений інтеграл [ правити | правити код ]

Поняття визначеного інтеграла виникає в зв'язку з завданням про знаходження площі криволінійної трапеції, знаходженні шляху по відомій швидкості при нерівномірному русі і т. п.

Розглянемо фігуру, обмежену віссю абсцис , Прямими x = a {\ displaystyle x = a} і x = b {\ displaystyle x = b} і графіком функції y = f (x) {\ displaystyle y = f (x)} , Звану криволінійної трапецією (див. Малюнок). Якщо по осі абсцис відкладено час, а по осі ординат - швидкість тіла, то площа криволінійної трапеції є пройдений тілом шлях.

Для обчислення площі цієї фігури природно застосувати наступний прийом. Розіб'ємо відрізок [a; b] {\ displaystyle [a; b]} на менші відрізки точками x i {\ displaystyle x_ {i}} , Такими що a = x 0 <. . . <X i <x i + 1 <. . . <X n = b {\ displaystyle a = x_ {0} <... <x_ {i} <x_ {i + 1} <... <x_ {n} = b} , А саму трапецію - на ряд вузьких смужок, що лежать над відрізками [x i; x i + 1] {\ displaystyle [x_ {i}; x_ {i + 1}]} . Візьмемо в кожному відрізку по довільній точці ξ i ∈ [x i; x i + 1] {\ displaystyle \ xi _ {i} \ in [x_ {i}; x_ {i + 1}]} . З огляду на те, що довжина i {\ displaystyle i} -го відрізка Δ x i = x i + 1 - x i {\ displaystyle \ Delta x_ {i} = x_ {i + 1} -x_ {i}} мала, будемо вважати значення функції f (x) {\ displaystyle f (x)} на ньому приблизно постійним і рівним y i = f (ξ i) {\ displaystyle y_ {i} = f (\ xi _ {i})} . Площа криволінійної трапеції буде приблизно дорівнює площі ступінчастою фігури, зображеної на малюнку:

S ≈ Σ i = 0 n - 1 yi Δ xi (*) {\ displaystyle S \ approx \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} y_ {i} \ Delta x_ {i} \ qquad (*) }

Якщо ж тепер збільшувати число точок розбиття, так, щоб довжини всіх відрізків необмежено убували (max Δ x i → 0 {\ displaystyle \ max \ Delta x_ {i} \ to 0} ), Площа ступінчастою фігури буде все ближче до площі криволінійної трапеції.

Тому ми приходимо до такого визначення:

Якщо існує, незалежно від вибору точок розбиття відрізання і точок ξ i {\ displaystyle \ xi _ {i}} , межа суми (*) при прагненні довжин всіх відрізків до нуля, то така межа називається певним інтегралом (за Ріманом) від функції f (x) {\ displaystyle f (x)} по відрізку [a; b] {\ displaystyle [a; b]} і позначається

∫ a b f (x) d x {\ displaystyle \ int \ limits _ {a} ^ {b} f (x) dx}

Сама функція при цьому називається інтегрованою (за Ріманом) на відрізку [a; b] {\ displaystyle [a; b]} . Суми виду (*) називаються інтегральними сумами.

Приклади інтегрованих функцій:

Приклад неінтегріруемих функції: функція Діріхле (1 при x {\ displaystyle x} раціональному , 0 при ірраціональному ). Оскільки безліч раціональних чисел всюди щільно в R {\ displaystyle {\ mathbb {R}}} , Вибором точок ξ i {\ displaystyle \ xi _ {i}} можна отримати будь-яке значення інтегральних сум від 0 до ba {\ displaystyle ba} .

Між певним і невизначеним інтегралом є простий зв'язок. А саме, якщо

∫ f (x) d x = F (x) + C {\ displaystyle \ int f (x) dx = F (x) + C}

то

∫ a b f (x) d x = F (b) - F (a) {\ displaystyle \ int \ limits _ {a} ^ {b} f (x) dx = F (b) -F (a)}

Це рівність називається формулою Ньютона-Лейбніца .

Інтеграл в просторах більшої розмірності [ правити | правити код ]

Подвійні і кратні інтеграли [ правити | правити код ]

Поняття подвійного інтеграла виникає при обчисленні обсягу циліндричного бруса, подібно до того, як певний інтеграл пов'язаний з обчисленням площі криволінійної трапеції. Розглянемо деяку двовимірну фігуру D {\ displaystyle D} на площині X Y {\ displaystyle XY} і задану на ній функцію двох змінних f (x, y) {\ displaystyle f (x, y)} . Розуміючи цю функцію як висоту в даній точці, поставимо питання про знаходження обсягу отриманого тіла (див. Малюнок). За аналогією з одновимірним випадком, розіб'ємо фігуру D {\ displaystyle D} на досить малі області d i {\ displaystyle d_ {i}} , Візьмемо в кожній по точці ξ i = ​​(x i, y i) {\ displaystyle \ xi _ {i} = (x_ {i}, y_ {i})} і складемо інтегральну суму

Σ i f (x i, y i) S (d i) {\ displaystyle \ sum _ {i} f (x_ {i}, y_ {i}) S (d_ {i})}

де S (d i) {\ displaystyle S (d_ {i})} - площа області d i {\ displaystyle d_ {i}} . Якщо існує, незалежно від вибору розбиття і точок ξ i {\ displaystyle \ xi _ {i}} , Межа цієї суми при прагненні діаметрів областей до нуля, то така межа називається подвійним інтегралом (за Ріманом) від функції f (x, y) {\ displaystyle f (x, y)} по області D {\ displaystyle D} і позначається

∫ D f (x, y) d S {\ displaystyle \ int \ limits _ {D} f (x, y) dS} , ∫ D f (x, y) d x d y {\ displaystyle \ int \ limits _ {D} f (x, y) dxdy} , Або ∬ D f (x, y) d x d y {\ displaystyle \ iint \ limits _ {D} f (x, y) dxdy}

Обсяг циліндричного бруса дорівнює цьому інтегралу.

Криволінійний інтеграл [ правити | правити код ]

Поверхневий інтеграл [ правити | правити код ]

До поняття інтеграла природним чином призводить також завдання про масу неоднорідного тіла. так, маса тонкого стрижня зі змінною щільністю ρ (x) {\ displaystyle \ rho (x)} дається інтегралом

M = ∫ ρ (x) d x {\ displaystyle M = \ int \ rho (x) dx}

в аналогічному випадку плоскої фігури

M = ∬ ρ (x, y) d x d y {\ displaystyle M = \ iint \ rho (x, y) dxdy}

і для тривимірного тіла

M = ∭ ρ (x, y, z) d x d y d z {\ displaystyle M = \ iiint \ rho (x, y, z) dxdydz}

Інтеграл Лебега [ правити | правити код ]

В основі визначення інтеграла Лебега лежить поняття σ {\ displaystyle \ sigma} -аддітівной заходи . Міра є природним узагальненням понять довжини, площі та об'єму.

Інтеграл Лебега функції f {\ displaystyle f} визначеної на просторі X {\ displaystyle X} в міру μ {\ displaystyle \ mu} позначають

∫ X f μ {\ displaystyle \ int \ limits _ {X} f \ mu} , ∫ x ∈ X f (x) μ {\ displaystyle \ int \ limits _ {x \ in X} f (x) \ mu} або ∫ X f (x) μ (d x) {\ displaystyle \ int \ limits _ {X} f (x) \ mu (dx)}

Останнім два позначення вживають якщо необхідно підкреслити що інтегрування ведеться по змінної x {\ displaystyle x} . Однак часто користуються таким не цілком правильним позначенням

∫ X f d μ. {\ Displaystyle \ int \ limits _ {X} fd \ mu.}

Вважаючи міру відрізка (прямокутника, паралелепіпеда) дорівнює його довжині (площі, об'єму), а міру кінцевого або рахункового об'єднання непересічних відрізків (прямокутників, паралелепіпедів), відповідно, сумі їх заходів, і продовжуючи цю міру на більш широкий клас вимірних множин , Отримаємо т. Зв. Лебегову міру на прямий (в R 2 {\ displaystyle {\ mathbb {R}} ^ {2}} , В R 3) {\ displaystyle {\ mathbb {R}} ^ {3})} .

Природно, в цих просторах можливо ввести і інші заходи, відмінні від Лебеговой. Міру можна ввести також на будь-якому абстрактному безлічі. На відміну від інтеграла Рімана, визначення інтеграла Лебега залишається однаковим для всіх випадків. Ідея його полягає в тому, що при побудові інтегральної суми значення аргументу групуються не по близькості один до одного (як у визначенні за Ріманом), а по близькості відповідних їм значень функції.

Нехай є деяка множина X {\ displaystyle X} , На якому задана σ {\ displaystyle \ sigma} -аддітівная міра μ {\ displaystyle \ mu} , І функція f: X → R {\ displaystyle f: X \ to {\ mathbb {R}}} . При побудові інтеграла Лебега розглядаються тільки вимірні функції , Тобто такі, для яких безлічі

E a = {x ∈ X: f (x) <a} {\ displaystyle E_ {a} = \ {x \ in X: f (x) <a \}}

вимірні для будь-якого a ∈ R {\ displaystyle a \ in {\ mathbb {R}}} (Це еквівалентно вимірності прообразу будь-якого борелівської безлічі ).

Спочатку інтеграл визначається для східчастих функцій, тобто таких, які приймають кінцеве або рахункове число значень a i {\ displaystyle a_ {i}} :

∫ X f μ = Σ iai μ (f - 1 (ai)) {\ displaystyle \ int \ limits _ {X} f \ mu = \ sum _ {i} a_ {i} \ mu (f ^ {- 1} (a_ {i}))}

де f - 1 (a i) {\ displaystyle f ^ {- 1} (a_ {i})} - повний прообраз точки a i {\ displaystyle a_ {i}} ; ці безлічі вимірні в силу вимірності функції. Якщо цей ряд абсолютно сходиться , Ступінчасту функцію f {\ displaystyle f} назвемо интегрируемой в сенсі Лебега. Далі, назвемо довільну функцію f {\ displaystyle f} інтегрованої в сенсі Лебега, якщо існує послідовність інтегрованих східчастих функцій f n {\ displaystyle f_ {n}} , рівномірно сходиться до f {\ displaystyle f} . При цьому послідовність їх інтегралів також сходиться; її межа і будемо називати інтегралом Лебега від функції f {\ displaystyle f} в міру μ {\ displaystyle \ mu} :

∫ X f μ = lim ∫ X f n μ {\ displaystyle \ int \ limits _ {X} f \ mu = \ lim \ int \ limits _ {X} f_ {n} \ mu}

Якщо розглядати функції на R n {\ displaystyle {\ mathbb {R}} ^ {n}} і інтеграл в міру Лебега, то всі функції, що інтегруються в сенсі Рімана, будуть інтегровними і в сенсі Лебега. Зворотне ж невірно (наприклад, функція Діріхле НЕ інтегрована за Ріманом, але інтегрована по Лебегу, так як дорівнює нулю майже всюди ). Фактично, будь-яка обмежена вимірна функція інтегровна за Лебегу.

Основні поняття інтегрального числення введені в роботах Ньютона і Лейбніца в кінці XVII століття. Лейбніца належить позначення інтеграла ∫ y d x {\ displaystyle \ int ydx} , Що нагадує про інтегральної сумі, як і сам символ ∫ {\ displaystyle \ int} , Від букви s ( «Довга s» ) - першої букви в латинському слові summa (тоді summa, сума) [3] . Сам термін «інтеграл» запропонований Іоганном Бернуллі , Учнем Лейбніца. Позначення меж інтегрування у вигляді ∫ a b {\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b}} введено Фур'є в 1820 році.

Суворе визначення інтеграла для випадку безперервних функцій сформульовано Коші в 1823 році, а для довільних функцій - Ріманом в 1853 році. Визначення інтеграла в сенсі Лебега вперше дано Лебегом в 1902 році (для випадку функції однієї змінної та заходи Лебега).

• Виноградов І. М. (гл. Ред.). Інтеграл // Математична енциклопедія. - М., 1977. - Т. 2.
• Фихтенгольц Г. М. Курс диференціального й інтегрального числення. - М.: Наука, 1969.
• Колмогоров А. Н., Фомін С. В. Елементи теорії функцій і функціонального аналізу. - М.: Наука, 1976.