Властивості електромагнітних хвиль

1. Система рівнянь Максвелла Наведемо закони, яким підкоряється поведінка електричного і магнітного...
2. Швидкість електромагнітної хвилі
3. Енергія переноситься електромагнітною хвилею

Система рівнянь Максвелла

Наведемо закони, яким підкоряється поведінка електричного і магнітного полів, що лежать в основі теорії електромагнетизму. Ці закони, які є узагальненням досвіду, формулюються нижче в інтегральної формі, так як саме в такому вигляді зазвичай виражаються дані експерименту. Використовуючи основні положення векторного аналізу, можна записати ці закони електромагнітного поля в диференціальної формі.

Якщо досліджують електромагнітне поле в будь-якому речовині, изотропно заповнює простір, то значення векторів Е і В виходять при усередненні мікроскопічних розмірів <E мікр> = Е і <H мікр> = В. Такий запис дозволяє оперувати з миттєвими напруженням електричного і магнітного полів в будь-якій точці простору.

Усереднення мікроскопічних величин законно в тому випадку, лінійні розміри області, де <E мікр> і <H мікр> можна вважати незмінними, значно перевищують розміри атомів (молеукл). Довжина хвилі є тим відрізком, на якому напруженість поля сильно змінюється. Тому усереднення можна проводити лише в тому випадку, коли значно більше атомних розмірів Таке рівність дотримується для всього оптичного діапазону спектра, включаючи короткі ультрафіолетові промені. Складніше йде справа в рентгенівської області спектра, де см, тобто того ж порядку що розміри атомів.

При переході до диференціальної формі законів електромагнітного поля використовують такі теореми векторного аналізу:

Теорема Гаусса про перетворення поверхневого інтеграла в об'ємний: . (2.3.1)

Теорема Стокса про перетворення інтеграла по замкнутій кривій в поверхневий інтеграл (потік ротора через поверхню, що охоплюються досліджуваної кривої):

. (2.3.2)

Отже, згадаємо закони електричного і магнітного полів. Перший з них - основний закон електростатики - закон Кулона. Як наслідок цього закону формулюється теорема Гаусса про потоці, яка при наявності діелектриків в досліджуваному просторі записується у вигляді

. (2.3.3)

Звідси зазначеним вище способом переходимо до диференціальної формі закону

, (2.3.3а)

де D - вектор електричного зміщення, - об'ємна щільність зарядів.

Істотно, що вирази (2.3.3) і (2.3.3а), отримані з рівнянь електростатики, узагальнюються Максвеллом для змінних полів, де D і залежать від часу.

Відсутність в природі магнітних зарядів (монополів) призводить до вираження

(2.3.4)

яке перетвориться до виду

div B = 0. (2.3.4а)

Ці формули відповідають добре відомим модельним уявленням про силових лініях електричного поля, що починаються на позитивних зарядах і закінчуються на негативних, тоді як лінії магнітного поля замкнені і охоплюють породили їх струми. Введення поняття ліній електричного і магнітного полів абсолютно не обов'язково (сенс законів міститься в наведених формулах), але, як і в багатьох випадках, наочність модельних уявлень допомагає розумінню явища.

Переходячи до опису властивостей електричного струму. сформулюємо основний закон про залежність напруженості магнітного поля від сили породив його струму. Цей закон зазвичай пов'язують з іменами Біо, Савара і Лаплпса. Запишемо його у вигляді, який називають теоремою про циркуляцію вектора Н:

Мал. 2.3.5. Теорема про циркуляцію вектора Н

Диференціальна форма цього закону виходить застосуванням теореми Стокса до рівності (2.3.5) і описує щільності струму j з напруженістю магнітного поля в даній точці:

Мал. 2.3.6. теорема Стокса

Як відомо, Максвелл ввів струм зміщення, щільність якого задовольняє співвідношенню

щільність струму

Струм провідності і струм зміщення доповнюють один одного, утворюючи повний струм щільністю

щільність повного струму

яка, згідно Максвеллу, і фігурує в рівнянні (2.3.6) останнім з потрібних нам фундаментальних співвідношень є математична формулювання знаменитого відкриття Фарадея - закону електромагнітної індукції.

Мал. 2.3.7. Закон електромагнітної індукції

в якому електрорушійна сила , Що виникає в замкнутому контурі, зв'язується зі швидкістю зміни потоку магнітної індукції Ф, що пронизує цей контур.

При дотриманні деяких умов експерименту (зокрема, якщо контур з струмом нерухомий і не деформується за час змін) справедлива наступна інтегральна форма запису закону індукції:

Мал. 2.3.8. Інтегральна форма запису закону індукції

звідки легко виходить диференціальна форма закону

Мал. 2.3.9. Диференціальна форма запису закону індукції

Тут доречно зробити наступне значення:

1. Добре відомі міркування про вихровому характер електричного поля, що породжується змінюється в часі магнітним полем. Це змінне електричне поле істотно відрізняється від потенційного електростатичного поля, створюваного системою нерухомих електричних зарядів, для якого rotE = 0. В подальшому нас буде цікавити саме змінне електричне поле. Але, як було показано Максвеллом, наявність змінного електричного поля з неминучістю призводить до виникнення пов'язаного з ним магнітного поля і тому потрібно говорити про єдиний електромагнітному полі, яке характеризується в кожній точці простору взаємопов'язаними ортогональними векторами Е і В.

2. Введення Максвеллом понять струму зміщення на початку виглядало як геніальний здогад. Але несумісність сформульованого рівняння електромагнітного поля (2.3.6) і рівняння безперервності

Мал. 2.3.10. рівняння безперервності

виражає одне з найбільш загальних властивостей матерії - закон збереження електричного заряду, - з неминучістю призводить до необхідності введення додаткової складової в праву частину рівняння поля. Отже, рівняння (2.3.6) має мати вигляд

Рівняння теореми Стокса

Саме це змінюється в часі електричне поле, настільки невдало названо «струмом зміщення», і пов'язане з ним магнітне поле гратимуть головну роль в подальшому викладі.

Отже, маємо рівняння електромагнітного поля в наступному вигляді:

, ,

, . (2.3.11)

Їх потрібно доповнити «матеріальними» рівняннями, які враховують співвідношення між векторами Е, D, В, Н і j. При відсутності феромагнітних сегнетоелектричних матеріалів для ізотропних середовищ можна записати ці рівняння за допомогою трьох констант: (Електропровідність), (Діелектрична проникність) і (Магнітна проникність), постулируя лінійну зв'язок між D і Е, В і Н, j і E, тобто

D = E, В = Н, j = E. (2.3.12)

Слід також сформулювати граничні умови для рівнянь електромагнітного поля, з яких найбільш широко використовуватимемо рівність тангенціальних складових Е і Н на межі поділу двох середовищ, тобто

, (2.3.13)

якщо припустити, що межують середовища розділені шаром, в якому константи , і змінюються безперервно, а j і кінцеві, то при прагненні до нуля товщини цього шару рівняння (2.3.9) і (2.3.6) зведуться до рівності (2.3.14). Однак при вирішенні конкретних завдань часто виникає необхідність поставити значення шуканих функцій на кордоні досліджуваної області. Такі граничні умови визначаються умовами експерименту і не випливають з рівнянь електромагнітного поля. Вони повинні бути додані до системи рівнянь (2.3.11). Зокрема, при розгляді безмежного простору часто задають вид тих чи інших функцій на нескінченності, керуючись фізичними умовами розв'язуваної задачі.

Система рівнянь, що включає в себе рівняння електромагнітного поля, «матеріальні» співвідношення і граничні умови, названа системою рівнянь Максвелла і іграетв електродинаміки ту ж роль. що і аксіоматика рівнянь Ньютона в класичній механіці.

Поперечність електромагнітних хвиль

Припустимо, що хвилі поширюються в однорідному незарядженому діелектрику. Застосуємо до них фундаментальні рівняння Максвелла

І матеріальні рівняння D = E, В = Н.

Нехай хвиля - плоска і монохроматична. Запишемо її в комплексному вигляді

, (2.3.15)

де - кругова частота, k- хвильової вектор, а амплітуди постійні. Диференціюючи за часом, отримуємо , Тобто операція диференціювання в цьому випадку зводиться до множення на . Аналогічно, диференціювання по координатах x, y, z зводиться до множення на . Помітивши це і позначаючи координатні орти через отримуємо

і аналогічно для rot E. В результаті рівняння Максвелла перейдуть в

Мал. 2.3.16. рівняння Максвелла

Введемо одиничний вектор N нормалі до фронту хвилі і швидкість поширення останнього в напрямку цієї нормалі - так звану нормальну швидкість v.

тоді (2.3.17)

І попередні співвідношення перейдуть в

(2.3.18)

звідси видно, що вектори E, H, v в плоскої електромагнітної хвилі взаємно перпендикулярні. Перпендикулярність векторів Е і Н до вектору v, або, що те ж, до напрямку поширення хвилі, означає, що електромагнітні хвилі поперечні. Тобто проблема поперечности світлових хвиль, з якою не могли впоратися теорії механічного ефіру, зовсім не виникає в електромагнітної теорії світла.

Швидкість електромагнітної хвилі

З рівнянь Максвелла можна визначити і швидкість електромагнітної хвилі v. З цією метою запишемо ці рівняння в скалярною формі:

або

Звідси після почленного перемноження і скорочення на ЄП отримуємо для v і показника заломлення такі вирази:

,

Останнє співвідношення називається законом Максвелла. Для немагнітних середовищ ( ) Воно переходить в .

У вакуумі v = c, тобто v збігається з електродинамічної постійної с. Тим самим розкривається глибокий сенс відкриття В.Вебера і Кольрауша, вперше виміряли цю постійну в 1856р.

Енергія переноситься електромагнітною хвилею

Електромагнітна хвиля являє собою електромагнітне обурення поширюється, як уже говорилося, в вакуумі зі швидкістю c, а в середовищі - зі швидкістю . З цим електромагнітним обуренням пов'язана енергія, щільність якої (тобто енергія, укладена в одиниці об'єму) виражається для електричного поля через , А для магнітного поля через . У разі монохроматичної хвилі і , Так що енергія хвилі пропорційна квадрату її амплітуди. Це співвідношення між енергією і амплітудою зберігає своє значення і для будь-якої іншої хвилі.

При поширенні електромагнітної хвилі відбувається перенесення енергії, подібно до того як це має місце при поширенні пружної хвилі. Питання про перебіг енергії в пружною хвилі був вперше (1874г.) Розглянуто Н. А. Умова який довів загальну теорему про потік енергії в будь-якому середовищі. Потік енергії в пружною хвилі може бути обчислений через величини, що характеризують потенційну енергію пружної деформації і кінетичну енергію руху частинок пружного середовища. Щільність потоку енергії виражається за допомогою спеціального вектора (вектор Умова). Аналогічне розгляд плідно і для електромагнітних. До певної міри можна уподібнити енергію електричного поля потенційної енергії пружної деформації, а енергію магнітного поля - кінетичної енергії руху частин деформованого тіла. Так само як і у випадку пружної деформації, передача енергії від точки до точки в електромагнітній хвилі пов'язана з тією обставиною, що хвилі електричної магнітної напруженості знаходяться в одній фазі. Така хвиля називається біжить. Рух енергії в біжучому пружною хвилі зручно зображується за допомогою вектора S, який можна назвати вектором енергії і який показує, яка кількість енергії протікає в хвилі за 1с. через 1 метр в квадраті. Для електромагнітних хвиль вектор цей був введений Пойтінга (1884г.) Його доречно називати вектором Умова-Пойтинга.

Неважко знайти вираз цього вектора для простого випадку, розглянутого нами в пункті 2.2 та виражає поширення смужкою електромагнітної хвилі вздовж осі x.

помноживши на Н і на Е і склавши,

отримаємо

де є щільність енергії. Розглядаючи потік енергії S, що входить і виходить з елементарного обсягу, знайдемо вираз для зміни щільності енергії за часом

Звідси

Мал. 2.3.19. Чисельне вираження вектора Умова - Пойтинга для електромагнітної хвилі

що являє собою чисельне вираження вектора Умова - Пойтинга для електромагнітної хвилі. Що стосується напрямку вектора Умова - Пойтинга, то він перпендикулярний до площини, що проходить через вектори електричної м магнітної напруженості, тобто в векторній формі запишеться в загальному вигляді

Своїм напрямок вектор Умова - Пойтінаг визначає напрям перенесення енергії хвилі і може бать в багатьох випадках прийнято за напрямок світлового променя. Не слід, однак, забувати, що поняття променя є поняття геометричної оптики і не має цілком відповідного способу в області хвильових уявлень, для яких запроваджено вектор Умова - -Пойтінга.