Вся елементарна математика - Навчальний посібник - Основи аналізу - Межі функцій ...

Межа функції. Деякі чудові межі.

Нескінченно мала величина величини.

Кінцевий межа. Нескінченну границю.

Поняття нескінченності.

Межа функції. Число L називається межею функції y = f (x) при x, що прямує до a:

> 0 знайдеться таке позитивне число = ( ), Залежне від , Що з умови | x - a | < з ледует | f (x) - L | < .

Це визначення означає, що L є межа функції y = f (x), якщо значення функції необмежено наближається до

коли значення аргументу x наближається до a. Геометрично це означає, що для будь-якого > 0 можна знайти таке число , Що якщо x знаходиться в інтервалі (a - , A + ), То значення функції лежить в інтервалі (L - , L + ). Відзначимо, що відповідно до цього визначення аргумент функції лише наближається до a, не беручи за це значення! Це слід враховувати при обчисленні межі будь-якої функції в точці її розриву, де функція не існує.

П р и м і р. знайти

Рішення . підставляючи

= 3 в вираз отримаємо не має сенсу
вираз (Див. Пункт "Про виразах, які не мають сенсу" на стор.
"Ступені і коріння" в розділі "Алгебра"). Тому вирішимо по-іншому:

Скорочення дробу в даному випадку коректно, так як x 3,
він лише наближається до 3. Тепер ми маємо:

оскільки, якщо x прагне до 3, то x + 3 прагне до 6.

Деякі чудові межі.

Нескінченно мала величина величини. Якщо межа деякої змінної дорівнює 0, то ця змінна називається нескінченно малою.

П р и м і р. Функція y = є нескінченно малою при x,

cтремящемся до 4, так як

Якщо абсолютне значення деякої змінної необмежено зростає, то ця змінна називається нескінченно великою.

Нескінченно велика величина не має кінцевого межі, але вона має так званий нескінченний межа, що записується як:

символ ( "Нескінченність") не означає деякого числа, він означає тільки, що дріб необмежено зростає при x, що прагне до 3. Слід зазначити, що дріб може бути як позитивною (при x> 3), так і негативною (при x <3) . Якщо нескінченно велика величина може бути тільки позитивною при будь-яких значеннях x, це відбивається в запису. Наприклад, при x 0 функція y = x - 2 нескінченно велика, але вона позитивна як при x> 0, так і при x <0; це виражається так:

Навпаки, функція y = - x - 2 завжди негативна, тому

Відповідно до цього, результат в нашому прикладі можна записати так:

назад