Закони алгебри логіки

1. 1. Закон одинарних елементів
2. 2. Закони заперечення
3. b. подвійне заперечення
4. c. Закон негативною логіки
5. 3. Комбінаційні закони
6. a. закон тавтології (багаторазове повторення)
7. b. закон переместительности

Закони алгебри логіки базуються на аксіомах і дозволяють перетворювати логічні функції. Логічні функції перетворюються з метою їх спрощення, а це веде до спрощення цифровий схеми.

АКСІОМИ алгебри логіки описують дію логічних функцій "І" і "АБО" і записуються наступними виразами:

0 * 0 = 0
0 * 1 = 0
1 * 0 = 0
1 * 1 = 1 0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 1

Всього є п'ять законів алгебри логіки:

1. Закон одинарних елементів

1 * X = X
0 * X = 0
1 + X = 1
0 + X = X

Цей закон алгебри логіки безпосередньо випливає з наведених вище виразів аксіом алгебри логіки.

Другий варіант використання цих виразів полягає в можливості виборчого обнулення певних розрядів многоразрядного числа. При порозрядному застосуванні операції "І" можна або залишати колишнє значення розряду, або обнуляти його, подаючи на відповідні розряди одиничний або нульовий потенціал. Наприклад, потрібно обнулити 6, 3 і 1 розряди. тоді:

У наведеному прикладі використання законів алгебри логіки чітко видно, що для обнулення необхідних розрядів в масці (нижня число) на місці відповідних розрядів записані нулі, в інших розрядах записані одиниці. У вихідному числі (верхнє число) на місці 6 і 1 розрядів знаходяться одиниці. Після виконання операції "І" на цих місцях з'являються нулі. На місці третього розряду в вихідному числі знаходиться нуль. В результуючому числі на цьому місці теж присутній нуль. Решта розряди, як і було потрібно за умовами задачі, не змінені.

Точно так само за допомогою закону одинарних елементів, одного з основних законів алгебри логіки, можна записувати одиниці в потрібні нам розряди. В цьому випадку необхідно скористатися нижніми двома виразами закону одинарних елементів. При порозрядному застосуванні операції "АБО" можна або залишати колишнє значення розряду, або обнуляти його, подаючи на відповідні розряди нульовий або одиничний потенціал. Нехай потрібно записати одиниці в 7 і 6 біти числа. тоді:

Тут в маску (нижня число) ми записали одиниці в сьомий і шостий біти. Решта біти містять нулі, і, отже, не можуть змінити первинний стан вихідного числа, що ми і бачимо в результуючому числі під рискою.

Перше і останнє вираження закону одинарних елементів дозволяють використовувати логічні елементи з великою кількістю входів в якості логічних елементів з меншою кількістю входів. Для цього використовуються входи в схемі "І" повинні бути підключені до джерела живлення, як це показано на малюнку 1:

Малюнок 1. Схема "2 І-НЕ", реалізована на логічному елементі "3І-НЕ"

У той же самий час не використовуються входи в схемі "АБО" відповідно до закону одинарних елементів повинні бути підключені до загального проведення схеми, як це показано на малюнку 2.

Малюнок 2. Схема "НЕ", реалізована на елементі "2 І-НЕ"

Наступними законами алгебри логіки, що випливають з аксіом алгебри логіки є закони заперечення.

2. Закони заперечення

a. Закон додаткових елементів

Вирази цього закону алгебри логіки широко використовується для мінімізації логічних схем. Якщо вдається виділити із загального виразу логічної функції такі подвираженія, то можна скоротити необхідну кількість входів елементів цифрової схеми, а іноді і взагалі звести все вираз до логічної константі.

Ще одним широко використовуваним законом алгебри логіки є закон подвійного заперечення.

b. подвійне заперечення

Закон подвійного заперечення використовується як для спрощення логічних виразів (і як наслідок спрощення і здешевлення цифрових комбінаторних схем), так і для усунення інверсії сигналів після таких логічних елементів як "2 І-НЕ" і "2ИЛИ-НЕ". В цьому випадку закони алгебри логіки дозволяють реалізовувати задані цифрові схеми за допомогою обмеженого набору логічних елементів.

c. Закон негативною логіки

Закон негативною логіки справедливий для будь-якого числа змінних. Цей закон алгебри логіки дозволяє реалізовувати логічну функцію "І" за допомогою логічних елементів "АБО" і навпаки: реалізовувати логічну функцію "АБО" за допомогою логічних елементів "І". Це особливо корисно в ТТЛ схемотехнике, так як там легко реалізувати логічні елементи "І", але при цьому досить складно логічні елементи "АБО". Завдяки законом негативної логіки можна реалізовувати елементи "АБО" на логічних елементах "І". На малюнку 3 показана реалізація логічного елемента "2ИЛИ" на елементі " 2 І-НЕ "І двох інверторах.

Малюнок 3. Логічний елемент "2ИЛИ", реалізований на елементі "2 І-НЕ" і двох інверторах

Те ж саме можна сказати і про схему монтажного "АБО". У разі необхідності його можна перетворити в монтажне "І", застосувавши інвертори на вході і виході цієї схеми.

3. Комбінаційні закони

Комбінаційні закони алгебри логіки багато в чому відповідають комбінаційною законам звичайної алгебри, але є і відмінності.

a. закон тавтології (багаторазове повторення)

Цей закон алгебри логіки дозволяє використовувати логічні елементи з великою кількістю входів в якості логічних елементів з меншою кількістю входів. Наприклад, можна реалізувати двухвходових схему "2И" на логічному елементі "3І", як це показано на малюнку 4:

Малюнок 4. Схема "2 І-НЕ", реалізована на логічному елементі "3І-НЕ"

або використовувати схему "2 І-НЕ" в якості звичайного інвертора, як це показано на малюнку 5:

Малюнок 5. Схема "НЕ", реалізована на логічному елементі "2 І-НЕ"

Однак слід попередити, що об'єднання кількох входів збільшує вхідні струми логічного елемента і його ємність, що збільшує струм споживання попередніх елементів і негативно позначається на швидкодії цифрової схеми в цілому.

Для зменшення числа входів в логічному елементі краще скористатися іншим законом алгебри логіки - законом одинарних елементів, як це було показано вище.

Продовжимо розгляд законів алгебри логіки:

b. закон переместительности

c. закон Сочетательность

d. закон розподільні

4. Правило поглинання (одна змінна поглинає інші)

5. Правило склеювання (виконується тільки по одній змінній)

Також як у звичайній математики в алгебрі логіки є старшинство операцій. При цьому першим виконується:

1. Дія в дужках
2. Операція з одним операндом (одномісна операція) - "НЕ"
3. Кон'юнкція - "І"
4. Диз'юнкція - "АБО"
5. Сума по модулю два.

Операції одного рангу виконуються зліва направо в порядку написання логічного виразу. Алгебра логіки лінійна і для неї справедливий принцип суперпозиції.

література:

Разом зі статтею "Закони алгебри логіки" читають:

Синтез комбінаційних цифрових схем по довільній таблиці істинності Будь-яка логічна схема без пам'яті повністю описується таблицею істинності ... Для реалізації таблиці істинності досить розглянути тільки ті рядки ...
http://digteh.ru/digital/SintSxem.php

Дешифратори (декодери) Декодери (дешифратори) дозволяють перетворювати одні види бінарних кодів в інші. Наприклад ...
http://digteh.ru/digital/DC.php

Шифратори (кодери) Досить часто перед розробниками цифрової апаратури встає зворотне завдання. Ви бажаєте перевести вісімковий або десятковий лінійний код в ...
http://digteh.ru/digital/Coder.php

мультиплексори Мультиплексорами називаються пристрої, які дозволяють підключати кілька входів до одного виходу ...
http://digteh.ru/digital/MS.php

демультиплексори Демультиплексор називаються пристрої ... Істотною відмінністю від мультиплексора є ...
http://digteh.ru/digital/DMS.php

Попередні версії сайту:
http://neic.nsk.su/~mavr
http://digital.sibsutis.ru/