Метод вузлів в завданні B5

Існує чудова формула, яка дозволяє вважати площа багатокутника на координатної сітки майже без помилок. Це навіть не формула, а справжня теорема. На перший погляд, вона може здатися складною. Але досить вирішити пару завдань - і ви зрозумієте, наскільки це крута фішка. Так що вперед!

Для початку введемо нове визначення:

Вузол координатної стеки - це будь-яка точка, що лежить на перетині вертикальних і горизонтальних ліній цієї сітки.

На першій картинці вузли взагалі не позначені. На другий позначені 4 вузли. Нарешті, на третій картинці позначені всі 16 вузлів.

Яке відношення це має до задачі B5? Справа в тому, що вершини багатокутника в таких завданнях завжди лежать в вузлах сітки. Як наслідок, для них працює наступна теорема:

Теорема. Розглянемо багатокутник на координатної сітки, вершини якого лежать в вузлах цієї сітки. Тоді площа багатокутника дорівнює:

де - число вузлів всередині даного багатокутника, - число вузлів, які лежать на його кордоні (граничних вузлів).

Як приклад розглянемо звичайний трикутник на координатної сітки і спробуємо відзначити внутрішні і граничні вузли.

На першій картинці дано звичайний трикутник. На другий відзначені його внутрішні вузли, число яких дорівнює = 10. На третин зображенні відзначені вузли лежать на кордоні, їх всього = 6.

Можливо, багатьом читачам незрозуміло, як рахувати числа і. Почніть з внутрішніх вузлів. Тут все очевидно: зафарбовує трикутник олівцем і дивимося, скільки вузлів попало під зафарбовування.

З граничними вузлами трохи складніше. Кордон багатокутника - замкнута ламана, яка перетинає координатну сітку в багатьох точках. Найпростіше відзначити якусь «стартову» точку, а потім обійти інші.

Граничними вузлами будуть тільки ті точки на ламаній, в яких одночасно перетинаються три лінії:

1. Власне, ламана;
2. Горизонтальна лінія координатної сітки;
3. Вертикальна лінія.

Подивимося, як все це працює в справжніх завданнях.

Завдання. Знайдіть площу трикутника, якщо розмір клітини дорівнює 1 x 1 см:

Для початку зазначимо вузли, які лежать всередині трикутника, а також на його кордоні:

Виходить, що внутрішній вузол всього один: = 1. Граничних вузлів - цілих шість: три збігаються з вершинами трикутника, а ще три лежать на сторонах. Разом = 6.

Тепер вважаємо площа за формулою:

От і все! Завдання вирішена.

Завдання. Знайдіть площу чотирикутника, зображеного на картатій папері з розміром клітини 1 см на 1 см. Відповідь дайте у квадратних сантиметрах.

Знову відзначаємо внутрішні і граничні вузли. Внутрішніх вузлів всього = 2. Граничних вузлів: = 7, з яких 4 є вершинами чотирикутника, а ще 3 лежать на сторонах.

Залишається підставити числа і в формулу площі:

Зверніть увагу на останній приклад. Це завдання реально пропонували на діагностичній роботі в 2012 році. Якщо працювати за стандартною схемою, доведеться робити багато додаткових побудов. А методом вузлів все вирішується практично усно.

Але формула - це ще не все. Давайте трохи перепишемо формулу, привівши складові в правій частині до спільного знаменника. отримаємо:

Числа і - це кількість вузлів, вони завжди цілі. Значить, весь чисельник теж цілий. Ми ділимо його на 2, з чого випливає важливий факт:

Площа завжди виражається цілим числом або дробом. Причому в кінці дробу завжди стоїть «п'ять десятих»: 10,5; 17,5 і т.д.

Таким чином, площа в завданні B5 завжди виражається цілим числом або дробом виду ***, 5. Якщо відповідь виходить іншим, значить, десь допущена помилка. Пам'ятайте про це, коли будете здавати справжній ЄДІ з математики!

Дивіться також:

1. Завдання B5: метод вузлів
2. Тест до уроку «Площі многокутників без координатної сітки» (середній)
3. Як вирішувати квадратні рівняння
4. Знаки тригонометричних функцій
5. Пробний ЄДІ з математики 2015: 4 варіант
6. Завдання на відсотки вважаємо відсотки за допомогою формули